Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00014452

а) Докажем, что $\angle AOC=90^{\circ}$.

Высота $CH$ перпендикулярна стороне $AB$, поэтому треугольник $BHC$ прямоугольный с прямым углом $H$. Окружность касается его сторон: $BH$ (это часть стороны $AB$), $BC$ и $CH$. Значит, это окружность, вписанная в треугольник $BHC$, а её центр $O$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника.

В частности, $CO$ — биссектриса угла $BCH$, а $BO$ — биссектриса угла $B$.

Обозначим $\angle ABC=\beta$. В прямоугольном треугольнике $BHC$ острые углы в сумме дают $90^{\circ}$, поэтому $\angle BCH=90^{\circ}-\beta$. Биссектриса делит этот угол пополам:

$$\angle OCB=\dfrac{90^{\circ}-\beta}{2}=45^{\circ}-\dfrac{\beta}{2}.$$

Теперь найдём угол при основании равнобедренного треугольника $ABC$. Углы при основании равны, а сумма всех углов равна $180^{\circ}$:

$$\angle BCA=\dfrac{180^{\circ}-\beta}{2}=90^{\circ}-\dfrac{\beta}{2}.$$

Биссектриса $BO$ угла при вершине равнобедренного треугольника лежит на его высоте и медиане $BD$ ($D$ — середина $AC$). Точка $O$ лежит на отрезке $BD$ внутри треугольника, поэтому луч $CO$ проходит внутри угла $BCA$, и

$$\angle OCA=\angle BCA-\angle OCB=\left(90^{\circ}-\dfrac{\beta}{2}\right)-\left(45^{\circ}-\dfrac{\beta}{2}\right)=45^{\circ}.$$

Прямая $BD$ — ось симметрии треугольника $ABC$, а точка $O$ лежит на ней. Поэтому $OA=OC$, треугольник $AOC$ равнобедренный и $\angle OAC=\angle OCA=45^{\circ}$. Тогда

$$\angle AOC=180^{\circ}-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}.$$

Что и требовалось доказать.

б) Найдём площадь треугольника $ABC$ при $BO=7$, $AC=10$.

По пункту а треугольник $AOC$ прямоугольный и равнобедренный с гипотенузой $AC=10$. Отрезок $OD$ — его медиана, проведённая к гипотенузе, а такая медиана равна половине гипотенузы:

$$OD=\dfrac{AC}{2}=5.$$

Точки $B$, $O$, $D$ лежат на одной прямой (на оси симметрии), причём $O$ между $B$ и $D$. Поэтому высота треугольника $ABC$ равна

$$BD=BO+OD=7+5=12.$$

Площадь: $S=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60$.

Проверим себя: действительно ли окружность с центром $O$ касается всех трёх прямых. Боковая сторона $BC=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$. Расстояние от $O$ до $BC$ найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой $BO=7$ и углом $\dfrac{\beta}{2}$, для которого $\sin\dfrac{\beta}{2}=\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{5}{13}$: оно равно $7\cdot\dfrac{5}{13}=\dfrac{35}{13}$. С другой стороны, в треугольнике $BHC$: $CH=\dfrac{2S}{AB}=\dfrac{120}{13}$, $BH=\sqrt{13^{2}-\left(\dfrac{120}{13}\right)^{2}}=\dfrac{119}{13}$, и радиус вписанной окружности равен $\dfrac{BH+CH-BC}{2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{119}{13}+\dfrac{120}{13}-13\right)=\dfrac{35}{13}$. Совпало.

Типичная ошибка — принять $BO$ за всю высоту треугольника или за радиус окружности. $BO$ — только часть высоты, от вершины до центра.