Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00014441

Остатки долга по годам заданы условием, неизвестна только ставка. Введём множитель роста: если долг увеличивается на $r\%$, он умножается на $k=1+\dfrac{r}{100}$.

Удобно собрать всё в таблицу из трёх строк: долг в июле, долг после январского начисления, платёж. Сначала первая строка (в млн рублей). «На $20\%$ меньше» — значит, остаётся $80\%$, долг умножается на $0{,}8$:

$$10;\qquad 10\cdot 0{,}8=8;\qquad 8\cdot 0{,}8=6{,}4;\qquad 6{,}4\cdot 0{,}8=5{,}12;\qquad 0.$$

Вторая строка — тот же долг, умноженный на $k$: $10k$; $8k$; $6{,}4k$; $5{,}12k$.

Третья строка — платёж: из выросшего долга вычитаем долг следующего июля.

$$10k-8;\qquad 8k-6{,}4;\qquad 6{,}4k-5{,}12;\qquad 5{,}12k.$$

Платежей четыре — столько же, сколько лет длится кредит. Складываем. Слагаемые с $k$: $10+8+6{,}4+5{,}12=29{,}52$. Числа: $8+6{,}4+5{,}12=19{,}52$. Сумма по условию равна $12{,}952$:

$$29{,}52k-19{,}52=12{,}952.$$

Получаем $29{,}52k=12{,}952+19{,}52=32{,}472$, откуда

$$k=\dfrac{32{,}472}{29{,}52}=1{,}1.$$

Множитель $1{,}1$ означает рост на $10\%$, то есть $r=10$.

Проверим себя. При $k=1{,}1$: $11-8=3$; $8{,}8-6{,}4=2{,}4$; $7{,}04-5{,}12=1{,}92$; $5{,}12\cdot 1{,}1=5{,}632$. Сумма: $3+2{,}4+1{,}92+5{,}632=12{,}952$ млн рублей — как в условии.