Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00014440

В задаче известно, каким должен быть долг каждый июль, а ставку нужно найти. Вместо процентов возьмём множитель: рост на $r\%$ — это умножение на $k=1+\dfrac{r}{100}$.

Выпишем долг на июль каждого года (в млн рублей). «На $10\%$ меньше» значит, что остаётся $90\%$, то есть долг умножается на $0{,}9$:

$$12;\qquad 12\cdot 0{,}9=10{,}8;\qquad 10{,}8\cdot 0{,}9=9{,}72;\qquad 0.$$

Платёж — это долг после январского роста минус долг, который должен остаться к июлю:

$$12k-10{,}8;\qquad 10{,}8k-9{,}72;\qquad 9{,}72k.$$

Остаток уменьшается медленно, всего на десятую часть в год, поэтому первые два платежа невелики, а третий закрывает почти весь кредит.

Сложим платежи. Слагаемые с $k$: $12+10{,}8+9{,}72=32{,}52$. Числа: $10{,}8+9{,}72=20{,}52$. Сумма по условию равна $13{,}626$:

$$32{,}52k-20{,}52=13{,}626.$$

Значит, $32{,}52k=13{,}626+20{,}52=34{,}146$, откуда

$$k=\dfrac{34{,}146}{32{,}52}=1{,}05.$$

Множитель $1{,}05$ — это рост на $5\%$, то есть $r=5$.

Проверим себя. При $k=1{,}05$: $12\cdot 1{,}05-10{,}8=12{,}6-10{,}8=1{,}8$; $10{,}8\cdot 1{,}05-9{,}72=11{,}34-9{,}72=1{,}62$; $9{,}72\cdot 1{,}05=10{,}206$. Сумма: $1{,}8+1{,}62+10{,}206=13{,}626$ млн рублей — совпало.

Не перепутай два процента: $10\%$ из условия — это уменьшение остатка, а найденные $5\%$ — ставка, по которой долг растёт в январе.