Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00014439

Остатки долга по годам известны, а ставка — нет. Перейдём от процентов к множителю: рост на $r\%$ — это умножение на $k=1+\dfrac{r}{100}$.

Выпишем долг на июль каждого года (в млн рублей). «На $50\%$ меньше» — значит, долг каждый раз уменьшается вдвое:

$$5;\qquad 2{,}5;\qquad 1{,}25;\qquad 0{,}625;\qquad 0.$$

Каждый январь долг вырастает в $k$ раз, а платёж опускает его до следующего числа из этого списка. Поэтому платежи равны:

$$5k-2{,}5;\qquad 2{,}5k-1{,}25;\qquad 1{,}25k-0{,}625;\qquad 0{,}625k.$$

Обрати внимание: проценты каждый год начисляются на текущий остаток, а не на первоначальные $5$ млн.

Складываем платежи. Слагаемые с $k$: $5+2{,}5+1{,}25+0{,}625=9{,}375$. Числа: $2{,}5+1{,}25+0{,}625=4{,}375$. Сумма по условию равна $6{,}125$:

$$9{,}375k-4{,}375=6{,}125.$$

Отсюда $9{,}375k=6{,}125+4{,}375=10{,}5$, и

$$k=\dfrac{10{,}5}{9{,}375}=1{,}12.$$

Множитель $1{,}12$ соответствует росту на $12\%$, то есть $r=12$.

Проверим себя. При $k=1{,}12$: $5\cdot 1{,}12-2{,}5=3{,}1$; $2{,}5\cdot 1{,}12-1{,}25=1{,}55$; $1{,}25\cdot 1{,}12-0{,}625=0{,}775$; $0{,}625\cdot 1{,}12=0{,}7$. Сумма: $3{,}1+1{,}55+0{,}775+0{,}7=6{,}125$ млн рублей — верно.