Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00014438

Известны остатки долга по годам, неизвестна ставка. Введём множитель роста: если долг вырастает на $r\%$, то он умножается на $k=1+\dfrac{r}{100}$. Найдём $k$, потом — $r$.

Выпишем долг на июль каждого года (в млн рублей). «На $30\%$ меньше» значит, что остаётся $70\%$, то есть долг умножается на $0{,}7$:

$$16;\qquad 16\cdot 0{,}7=11{,}2;\qquad 11{,}2\cdot 0{,}7=7{,}84;\qquad 0.$$

Платёж каждого года — это долг после январского начисления процентов минус долг, который должен остаться к июлю:

$$16k-11{,}2;\qquad 11{,}2k-7{,}84;\qquad 7{,}84k.$$

Третьим платежом долг гасится полностью: он равен всему остатку $7{,}84$ млн вместе с начисленными на него процентами.

Сложим платежи. Слагаемые с $k$: $16+11{,}2+7{,}84=35{,}04$. Числа: $11{,}2+7{,}84=19{,}04$. Сумма по условию равна $21{,}256$:

$$35{,}04k-19{,}04=21{,}256.$$

Тогда $35{,}04k=21{,}256+19{,}04=40{,}296$, и

$$k=\dfrac{40{,}296}{35{,}04}=1{,}15.$$

Множитель $1{,}15$ — это рост на $15\%$, значит, $r=15$.

Проверим себя. При $k=1{,}15$: первый платёж $16\cdot 1{,}15-11{,}2=18{,}4-11{,}2=7{,}2$; второй $11{,}2\cdot 1{,}15-7{,}84=12{,}88-7{,}84=5{,}04$; третий $7{,}84\cdot 1{,}15=9{,}016$. Сумма: $7{,}2+5{,}04+9{,}016=21{,}256$ млн рублей — совпало с условием.