Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00014436

В этой задаче известны остатки долга по годам, а неизвестна ставка. Удобно работать не с процентами, а с множителем: если долг вырастает на $r\%$, то он умножается на $k=1+\dfrac{r}{100}$. Найдём $k$, а потом вернёмся к $r$.

Сначала выпишем долг на июль каждого года (в млн рублей). «На $25\%$ меньше» значит, что остаётся $75\%$ долга, то есть он умножается на $0{,}75$:

$$40;\qquad 40\cdot 0{,}75=30;\qquad 30\cdot 0{,}75=22{,}5;\qquad 22{,}5\cdot 0{,}75=16{,}875;\qquad 0.$$

Теперь разберёмся с платежом. В январе долг вырастает в $k$ раз, а платёж опускает его до нужного июльского значения. Значит, платёж — это «долг после начисления процентов минус долг, который должен остаться»:

$$40k-30;\qquad 30k-22{,}5;\qquad 22{,}5k-16{,}875;\qquad 16{,}875k.$$

Последним платежом долг гасится полностью, поэтому вычитать там нечего.

Сложим четыре платежа. Отдельно соберём слагаемые с $k$: $40+30+22{,}5+16{,}875=109{,}375$. Отдельно — числа: $30+22{,}5+16{,}875=69{,}375$. По условию сумма равна $61{,}875$:

$$109{,}375k-69{,}375=61{,}875.$$

Переносим число вправо: $109{,}375k=61{,}875+69{,}375=131{,}25$. Отсюда

$$k=\dfrac{131{,}25}{109{,}375}=1{,}2.$$

Множитель $1{,}2$ означает рост на $20\%$, то есть $r=20$.

Проверим себя. При $k=1{,}2$ платежи равны: $40\cdot 1{,}2-30=18$; $30\cdot 1{,}2-22{,}5=13{,}5$; $22{,}5\cdot 1{,}2-16{,}875=10{,}125$; $16{,}875\cdot 1{,}2=20{,}25$. Их сумма: $18+13{,}5+10{,}125+20{,}25=61{,}875$ млн рублей — как в условии.