Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00014435

Введём координаты с началом в вершине $A$: $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(6;6;0)$, $D(0;6;0)$ и верхние вершины $A_1(0;0;6)$, $B_1(6;0;6)$, $C_1(6;6;6)$, $D_1(0;6;6)$.

Точка $K$ — середина $B_1C_1$: $K(6;3;6)$. Плоскость $\alpha$ проходит через $B$, $K$, $D$.

Пункт а. Построим сечение. Точки $B$ и $K$ лежат в правой грани, $B$ и $D$ — в нижней. Верхнюю и нижнюю грани куба плоскость пересекает по параллельным прямым (грани параллельны), поэтому через $K$ проведём прямую, параллельную $BD$; она пересекает ребро $C_1D_1$ в его середине $P(3;6;6)$. Сечение — четырёхугольник $BKPD$.

В нём $KP\parallel BD$ (по построению), значит $BKPD$ — трапеция. Проверим боковые стороны:

$$BK=\sqrt{0^2+3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5},\qquad DP=\sqrt{3^2+0^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.$$

Боковые стороны равны, поэтому трапеция равнобедренная. Утверждение доказано.

Пункт б. Найдём уравнение плоскости $\alpha$ через точки $B(6;0;0)$, $K(6;3;6)$, $D(0;6;0)$. Нормаль — векторное произведение $\vec{BK}\times\vec{BD}$:

$$\vec{BK}=(0;3;6),\quad \vec{BD}=(-6;6;0),\quad \vec{n}=\vec{BK}\times\vec{BD}=(-36;-36;18).$$

Сократим на $-18$: $\vec{n}=(2;2;-1)$. Уравнение плоскости: $2x+2y-z=12$ (подставили точку $B$).

Расстояние от точки $C(6;6;0)$ до плоскости:

$$d=\dfrac{|2\cdot 6+2\cdot 6-0-12|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}=\dfrac{12}{3}=4.$$

Расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$ равно $4$.

Замечание. Для контроля: расстояние от верхней вершины $C_1(6;6;6)$ до этой же плоскости равно $\dfrac{|12+12-6-12|}{3}=2$ — вдвое меньше, ведь $C_1$ ближе к наклонной плоскости. В ответе берём расстояние именно от $C$, как требует условие.