Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00014430

Удобно сразу ввести новую переменную для логарифма и привести левую часть к одной дроби.

ОДЗ: $x>0$ и $\log_{36} x\ne 0$, то есть $x\ne 1$. Значит $x\in(0;1)\cup(1;+\infty)$.

Положим $t=\log_{36} x$. Тогда неравенство принимает вид:

$$(t+1)\left(\dfrac{1}{t}+1\right)\leqslant t.$$

Раскроем скобки и перенесём всё влево, приведя к общему знаменателю:

$$\dfrac{(t+1)^2}{t}-t\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2t+1}{t}\leqslant 0.$$

Метод интервалов по $t$ даёт $-\dfrac{1}{2}\leqslant t<0$.

Возвращаемся к $x$: $-\dfrac{1}{2}\leqslant\log_{36} x<0$, то есть $\log_{36}\dfrac{1}{6}\leqslant\log_{36} x<\log_{36} 1$. Так как основание $36\gt 1$, логарифм возрастает, поэтому:

$$x\in\left[\dfrac{1}{6};\ 1\right).$$

Типичная ошибка: поделить на $t$ или $t+1$ без учёта знака; правильнее привести к одной дроби и применить метод интервалов.