И числитель, и знаменатель здесь «показательные». Числитель удобно превратить в квадратный трёхчлен заменой.

ОДЗ: аргумент логарифма положителен (всегда), а знаменатель не равен нулю: \log_3\left(0{,}5\cdot 2^{x}\right)\ne 0 — выколем точку, где логарифм обращается в ноль.

Сделаем замену t=2^{x} (t>0). Числитель раскладывается на множители:

\left(t -2\right) \left(t -1\right).

Знаменатель по свойству логарифма степени сохраняет знак показателя x -1. Расставляем знаки методом интервалов и возвращаемся к x:

x\in [0;\ 1)\cup(1;\ +\infty).

Типичная ошибка: при возврате от t к x забывают, что t=2^{x} монотонна, и неверно переносят границы; и не выкалывают нуль знаменателя.