Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00014428

И числитель, и знаменатель здесь «показательные». Числитель удобно превратить в квадратный трёхчлен заменой.

ОДЗ: аргумент логарифма положителен (всегда), а знаменатель не равен нулю: $\log_3\left(0{,}5\cdot 2^{x}\right)\ne 0$ — выколем точку, где логарифм обращается в ноль.

Сделаем замену $t=2^{x}$ ($t>0$). Числитель раскладывается на множители:

$$\left(t -2\right) \left(t -1\right).$$

Знаменатель по свойству логарифма степени сохраняет знак показателя $x -1$. Расставляем знаки методом интервалов и возвращаемся к $x$:

$$x\in [0;\ 1)\cup(1;\ +\infty).$$

Типичная ошибка: при возврате от $t$ к $x$ забывают, что $t=2^{x}$ монотонна, и неверно переносят границы; и не выкалывают нуль знаменателя.