Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00014426

Здесь дважды встречается логарифм по основанию $5$, и есть слагаемое $\log_{0{,}2}^2 x$. Сведём всё к одной переменной.

ОДЗ: чтобы существовал внешний логарифм $\log_5(\log_5 x)$, нужно $\log_5 x>0$, то есть $x>1$ (и автоматически $x>0$).

Применим тождество $5^{\log_5 t}=t$: первое слагаемое равно $\log_5 x$. Заметим также, что $\log_{0{,}2}x=\log_{1/5}x=-\log_5 x$, поэтому $\log_{0{,}2}^2 x=\log_5^2 x$.

Введём $u=\log_5 x$ (по ОДЗ $u>0$). Неравенство примет вид:

$$u+u^2-12\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (u+4)(u-3)\leqslant 0.$$

Отсюда $-4\leqslant u\leqslant 3$. С учётом $u>0$ получаем $0\lt u\leqslant 3$, то есть $0\lt \log_5 x\leqslant 3$.

Возвращаемся к $x$: $1\lt x\leqslant 5^3$, то есть $x\in(1;\,125]$.

$$x\in(1;\ 125].$$

Типичная ошибка: потерять условие $\log_5 x>0$ (внешний логарифм!) — без него в ответ попадёт лишний кусок около $x=1$.