Решите неравенство: 5 в степени log по основанию 5 левая круглая скобка log по основанию 5 x правая круглая скобка плюс log по основанию 0, 2 в квадрате x минус 120

x принадлежит левая круглая скобка 1; 125 правая квадратная скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство: 5 в степени log по основанию 5 левая круглая…

№2. Задание 15

ID: 00014426

Решите неравенство:

$5^{\log_5\left(\log_5 x\right)}+\log_{0{,}2}^{2}x-12\leqslant 0$

Источник: Основная волна ЕГЭ 2026

Решение

Здесь дважды встречается логарифм по основанию $5$ , и есть слагаемое $\log_{0{,}2}^2 x$ . Сведём всё к одной переменной.

ОДЗ: чтобы существовал внешний логарифм $\log_5(\log_5 x)$ , нужно $\log_5 x>0$ , то есть $x>1$ (и автоматически $x>0$ ).

Применим тождество $5^{\log_5 t}=t$ : первое слагаемое равно $\log_5 x$ . Заметим также, что $\log_{0{,}2}x=\log_{1/5}x=-\log_5 x$ , поэтому $\log_{0{,}2}^2 x=\log_5^2 x$ .

Введём $u=\log_5 x$ (по ОДЗ $u>0$ ). Неравенство примет вид:

$u+u^2-12\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (u+4)(u-3)\leqslant 0.$

Отсюда $-4\leqslant u\leqslant 3$ . С учётом $u>0$ получаем $0\lt u\leqslant 3$ , то есть $0\lt \log_5 x\leqslant 3$ .

Возвращаемся к $x$ : $1\lt x\leqslant 5^3$ , то есть $x\in(1;\,125]$ .

$x\in(1;\ 125].$

Типичная ошибка: потерять условие $\log_5 x>0$ (внешний логарифм!) — без него в ответ попадёт лишний кусок около $x=1$ .

Ответ

$x\in (1;\ 125]$