Перед нами дробь, и знак её определяется знаками числителя и знаменателя. Главная идея — упростить логарифм в знаменателе.

ОДЗ: аргумент логарифма положителен (это выполнено при всех x, так как c\cdot a^{x}\gt 0), а знаменатель не равен нулю, то есть \log_3\left(8\cdot 2^{x}\right)\ne 0.

Разложим числитель на множители:

x^{2} + 2 x -3=\left(x -1\right) \left(x + 3\right).

Теперь знаменатель. По свойству логарифма степени \log_3\left(8\cdot 2^{x}\right) сводится к выражению, пропорциональному показателю x + 3 (множитель \log_3 a>0 знак не меняет). Значит знак знаменателя совпадает со знаком x + 3.

Дробь сводится к виду, который решается методом интервалов. С учётом выколотой точки (где знаменатель равен нулю) получаем:

x\in (-\infty;\ -3)\cup(-3;\ 1].

Типичная ошибка: забыть выколоть точку, где знаменатель равен нулю (аргумент логарифма равен 1) — её обязательно исключают из ответа.