Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00014422

Главную роль здесь играет основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a t}=t$ при $t>0$. С его помощью «тяжёлое» слагаемое со степенью и логарифмом превратится в обычное выражение.

Сначала запишем область допустимых значений (ОДЗ). Под логарифмом стоит $x^2-1$, требуем $x^2-1\gt 0$, то есть $|x|\gt 1$. ОДЗ: $x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$.

Теперь применим тождество к первому слагаемому: $5^{\log_5\left(x^{2} - 1\right)}=x^{2} - 1$. Неравенство становится алгебраическим:

$$x^{4} + x^{2} -6\leqslant 0.$$

Сделаем замену $t=x^2$ (при этом $t\geqslant 0$):

$$t^{2} + t -6\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \left(t -2\right) \left(t + 3\right)\leqslant 0.$$

Один из множителей при $t\geqslant 0$ всегда положителен, поэтому знак всей левой части определяется вторым множителем. Решаем и возвращаемся к $x$ через $x^2$, после чего пересекаем с ОДЗ.

Итог (с учётом ОДЗ): $$x\in \left[-\sqrt{2};\ -1\right)\cup\left(1;\ \sqrt{2}\,\right].$$

Типичная ошибка: применить тождество $a^{\log_a t}=t$, забыв про ОДЗ $t>0$ — тогда в ответ попадут лишние точки. Здесь ОДЗ обязательно пересекаем с решением.