Главную роль здесь играет основное логарифмическое тождество: a^{\log_a t}=t при t>0. С его помощью «тяжёлое» слагаемое со степенью и логарифмом превратится в обычное выражение.

Сначала запишем область допустимых значений (ОДЗ). Под логарифмом стоит x^2-1, требуем x^2-1\gt 0, то есть |x|\gt 1. ОДЗ: x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).

Теперь применим тождество к первому слагаемому: 5^{\log_5\left(x^{2} - 1\right)}=x^{2} - 1. Неравенство становится алгебраическим:

x^{4} + x^{2} -6\leqslant 0.

Сделаем замену t=x^2 (при этом t\geqslant 0):

t^{2} + t -6\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \left(t -2\right) \left(t + 3\right)\leqslant 0.

Один из множителей при t\geqslant 0 всегда положителен, поэтому знак всей левой части определяется вторым множителем. Решаем и возвращаемся к x через x^2, после чего пересекаем с ОДЗ.

Итог (с учётом ОДЗ): x\in \left[-\sqrt{2};\ -1\right)\cup\left(1;\ \sqrt{2}\,\right].

Типичная ошибка: применить тождество a^{\log_a t}=t, забыв про ОДЗ t>0 — тогда в ответ попадут лишние точки. Здесь ОДЗ обязательно пересекаем с решением.