Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00014421

Главную роль здесь играет основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a t}=t$ при $t>0$. С его помощью «тяжёлое» слагаемое со степенью и логарифмом превратится в обычное выражение.

Сначала запишем область допустимых значений (ОДЗ). Под логарифмом стоит $2^{x}-2$, требуем $2^{x}-2\gt 0$, то есть $2^{x}\gt 2$, откуда $x>1$. ОДЗ: $x\in(1;+\infty)$.

Теперь применим тождество к первому слагаемому: $3^{\log_3\left(2^{x} - 2\right)}=2^{x} - 2$. Неравенство становится алгебраическим:

$$2^{x} + 4^{x} -20\leqslant 0.$$

Сделаем замену $t=3^{x}$ (при этом $t>0$) и разложим на множители; затем вернёмся к $x$ и пересечём с ОДЗ.

Итог (с учётом ОДЗ): $$x\in (1;\ 2].$$

Типичная ошибка: применить тождество $a^{\log_a t}=t$, забыв про ОДЗ $t>0$ — тогда в ответ попадут лишние точки. Здесь ОДЗ обязательно пересекаем с решением.