Главную роль здесь играет основное логарифмическое тождество: a^{\log_a t}=t при t>0. С его помощью «тяжёлое» слагаемое со степенью и логарифмом превратится в обычное выражение.

Сначала запишем область допустимых значений (ОДЗ). Под логарифмом стоит 2^{x}-2, требуем 2^{x}-2\gt 0, то есть 2^{x}\gt 2, откуда x>1. ОДЗ: x\in(1;+\infty).

Теперь применим тождество к первому слагаемому: 3^{\log_3\left(2^{x} - 2\right)}=2^{x} - 2. Неравенство становится алгебраическим:

2^{x} + 4^{x} -20\leqslant 0.

Сделаем замену t=3^{x} (при этом t>0) и разложим на множители; затем вернёмся к x и пересечём с ОДЗ.

Итог (с учётом ОДЗ): x\in (1;\ 2].

Типичная ошибка: применить тождество a^{\log_a t}=t, забыв про ОДЗ t>0 — тогда в ответ попадут лишние точки. Здесь ОДЗ обязательно пересекаем с решением.