Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00014420

Главную роль здесь играет основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a t}=t$ при $t>0$. С его помощью «тяжёлое» слагаемое со степенью и логарифмом превратится в обычное выражение.

Сначала запишем область допустимых значений (ОДЗ). Под логарифмом стоит $25-5^{x}$, требуем $25-5^{x}\gt 0$, то есть $5^{x}\lt 25$, откуда $x<2$. ОДЗ: $x\in(-\infty;\,2)$.

Теперь применим тождество к первому слагаемому: $3^{\log_3\left(25 - 5^{x}\right)}=25 - 5^{x}$. Неравенство становится алгебраическим:

$$25^{x} -5^{x} -20\geqslant 0.$$

Сделаем замену $t=3^{x}$ (при этом $t>0$) и разложим на множители; затем вернёмся к $x$ и пересечём с ОДЗ.

Итог (с учётом ОДЗ): $$x\in [1;\ 2).$$

Типичная ошибка: применить тождество $a^{\log_a t}=t$, забыв про ОДЗ $t>0$ — тогда в ответ попадут лишние точки. Здесь ОДЗ обязательно пересекаем с решением.