Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00014418

Главную роль здесь играет основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a t}=t$ при $t>0$. С его помощью «тяжёлое» слагаемое со степенью и логарифмом превратится в обычное выражение.

Сначала запишем область допустимых значений (ОДЗ). Под логарифмом стоит $9-x^2$, оно должно быть положительным: $9-x^2\gt 0$, то есть $x\in(-3;\,3)$. Это ОДЗ — границы $\pm 3$ в ответ войти не смогут.

Теперь применим тождество к первому слагаемому: $5^{\log_5\left(9 - x^{2}\right)}=9 - x^{2}$. Неравенство становится алгебраическим:

$$x^{4} -x^{2} -20\geqslant 0.$$

Сделаем замену $t=x^2$ (при этом $t\geqslant 0$):

$$t^{2} -t -20\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \left(t -5\right) \left(t + 4\right)\geqslant 0.$$

Один из множителей при $t\geqslant 0$ всегда положителен, поэтому знак всей левой части определяется вторым множителем. Решаем и возвращаемся к $x$ через $x^2$, после чего пересекаем с ОДЗ.

Итог (с учётом ОДЗ): $$x\in \left(-3;\ -\sqrt{5}\,\right]\cup\left[\sqrt{5};\ 3\right).$$

Типичная ошибка: применить тождество $a^{\log_a t}=t$, забыв про ОДЗ $t>0$ — тогда в ответ попадут лишние точки. Здесь ОДЗ обязательно пересекаем с решением.