Главную роль здесь играет основное логарифмическое тождество: a^{\log_a t}=t при t>0. С его помощью «тяжёлое» слагаемое со степенью и логарифмом превратится в обычное выражение.

Сначала запишем область допустимых значений (ОДЗ). Под логарифмом стоит 9-x^2, оно должно быть положительным: 9-x^2\gt 0, то есть x\in(-3;\,3). Это ОДЗ — границы \pm 3 в ответ войти не смогут.

Теперь применим тождество к первому слагаемому: 5^{\log_5\left(9 - x^{2}\right)}=9 - x^{2}. Неравенство становится алгебраическим:

x^{4} -x^{2} -20\geqslant 0.

Сделаем замену t=x^2 (при этом t\geqslant 0):

t^{2} -t -20\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \left(t -5\right) \left(t + 4\right)\geqslant 0.

Один из множителей при t\geqslant 0 всегда положителен, поэтому знак всей левой части определяется вторым множителем. Решаем и возвращаемся к x через x^2, после чего пересекаем с ОДЗ.

Итог (с учётом ОДЗ): x\in \left(-3;\ -\sqrt{5}\,\right]\cup\left[\sqrt{5};\ 3\right).

Типичная ошибка: применить тождество a^{\log_a t}=t, забыв про ОДЗ t>0 — тогда в ответ попадут лишние точки. Здесь ОДЗ обязательно пересекаем с решением.