Главную роль здесь играет основное логарифмическое тождество: a^{\log_a t}=t при t>0. С его помощью «тяжёлое» слагаемое со степенью и логарифмом превратится в обычное выражение.

Сначала запишем область допустимых значений (ОДЗ). Под логарифмом стоит 4+x^2. Это выражение положительно при любом x (сумма положительного числа и квадрата), поэтому ОДЗ — вся числовая прямая.

Теперь применим тождество к первому слагаемому: 3^{\log_3\left(x^{2} + 4\right)}=x^{2} + 4. Неравенство становится алгебраическим:

x^{4} + x^{2} -6\geqslant 0.

Сделаем замену t=x^2 (при этом t\geqslant 0):

t^{2} + t -6\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \left(t -2\right) \left(t + 3\right)\geqslant 0.

Один из множителей при t\geqslant 0 всегда положителен, поэтому знак всей левой части определяется вторым множителем. Решаем и возвращаемся к x через x^2, после чего пересекаем с ОДЗ.

Итог (с учётом ОДЗ): x\in \left(-\infty;\ -\sqrt{2}\,\right]\cup\left[\sqrt{2};\ +\infty\right).

Типичная ошибка: применить тождество a^{\log_a t}=t, забыв про ОДЗ t>0 — тогда в ответ попадут лишние точки. Здесь ОДЗ обязательно пересекаем с решением.