Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00014417

Главную роль здесь играет основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a t}=t$ при $t>0$. С его помощью «тяжёлое» слагаемое со степенью и логарифмом превратится в обычное выражение.

Сначала запишем область допустимых значений (ОДЗ). Под логарифмом стоит $4+x^2$. Это выражение положительно при любом $x$ (сумма положительного числа и квадрата), поэтому ОДЗ — вся числовая прямая.

Теперь применим тождество к первому слагаемому: $3^{\log_3\left(x^{2} + 4\right)}=x^{2} + 4$. Неравенство становится алгебраическим:

$$x^{4} + x^{2} -6\geqslant 0.$$

Сделаем замену $t=x^2$ (при этом $t\geqslant 0$):

$$t^{2} + t -6\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \left(t -2\right) \left(t + 3\right)\geqslant 0.$$

Один из множителей при $t\geqslant 0$ всегда положителен, поэтому знак всей левой части определяется вторым множителем. Решаем и возвращаемся к $x$ через $x^2$, после чего пересекаем с ОДЗ.

Итог (с учётом ОДЗ): $$x\in \left(-\infty;\ -\sqrt{2}\,\right]\cup\left[\sqrt{2};\ +\infty\right).$$

Типичная ошибка: применить тождество $a^{\log_a t}=t$, забыв про ОДЗ $t>0$ — тогда в ответ попадут лишние точки. Здесь ОДЗ обязательно пересекаем с решением.