Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00014415

Перед нами уравнение, в котором углы записаны со сдвигами на $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$. Чтобы свести всё к одному углу $x$, применим формулы приведения.

Вспоминаем: $\cos(\pi-x)=-\cos x$ — синус и косинус «сдвинутого» угла выражаются через функции самого $x$.

Слагаемое со сдвинутым углом раскроем по формуле косинуса разности и подставим табличные значения:

$$\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos x\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin x\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x.$$

Подставляем всё в уравнение и приводим подобные слагаемые. Уравнение становится равносильным простому:

$$\sqrt{2}\sin x=1.$$

Остаётся простейшее уравнение $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. У него две серии корней (синус принимает одно значение в двух точках окружности).

$$x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

Мы получили ответ пункта а) — это все корни уравнения.

Перейдём к пункту б): из найденной серии выберем корни, попадающие в отрезок $\left[\dfrac{17\pi}{2};\ 10\pi\right]$.

Отметим на тригонометрической окружности дугу, отвечающую этому отрезку (её начало и конец), и нанесём точки серии решений. В отрезок попадают только те, что лежат на дуге.

На отрезке оказывается один корень: $x=\dfrac{35\pi}{4}$.

Это ответ пункта б).

Совет. Отбор корней на ЕГЭ нужно показывать рисунком (окружность с дугой и отмеченными точками) или явным двойным неравенством для $k$ — иначе пункт б могут не зачесть даже при верном числовом ответе.