Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00014414

Перед нами уравнение, в котором углы записаны со сдвигами на $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$. Чтобы свести всё к одному углу $x$, применим формулы приведения.

Вспоминаем: $\cos(\pi-x)=-\cos x$ — синус и косинус «сдвинутого» угла выражаются через функции самого $x$.

Слагаемое со сдвинутым углом раскроем по формуле косинуса суммы и подставим табличные значения:

$$\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos x\cos\dfrac{\pi}{3}-\sin x\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x.$$

Подставляем всё в уравнение и приводим подобные слагаемые. Уравнение становится равносильным простому:

$$-2 \sqrt{3}\sin x=3.$$

Остаётся простейшее уравнение $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. У него две серии корней (синус принимает одно значение в двух точках окружности).

$$x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k;\ \dfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

Мы получили ответ пункта а) — это все корни уравнения.

Перейдём к пункту б): из найденной серии выберем корни, попадающие в отрезок $\left[\dfrac{13\pi}{2};\ 8\pi\right]$.

Отметим на тригонометрической окружности дугу, отвечающую этому отрезку (её начало и конец), и нанесём точки серии решений. В отрезок попадают только те, что лежат на дуге.

На отрезке оказываются корни: $x=\dfrac{22\pi}{3}$; $x=\dfrac{23\pi}{3}$.

Это ответ пункта б).

Совет. Отбор корней на ЕГЭ нужно показывать рисунком (окружность с дугой и отмеченными точками) или явным двойным неравенством для $k$ — иначе пункт б могут не зачесть даже при верном числовом ответе.