Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00014411

Перед нами уравнение, в котором углы записаны со сдвигами на $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$. Чтобы свести всё к одному углу $x$, применим формулы приведения.

Слагаемое со сдвинутым углом раскроем по формуле синуса разности и подставим табличные значения:

$$\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin x\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos x\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x.$$

Подставляем всё в уравнение и приводим подобные слагаемые. Уравнение становится равносильным простому:

$$-2 \sqrt{2}\cos x=\sqrt{2}.$$

Остаётся простейшее уравнение $\cos x=-\dfrac{1}{2}$.

$$x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

Мы получили ответ пункта а) — это все корни уравнения.

Перейдём к пункту б): из найденной серии выберем корни, попадающие в отрезок $\left[-\pi;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Отметим на тригонометрической окружности дугу, отвечающую этому отрезку (её начало и конец), и нанесём точки серии решений. В отрезок попадают только те, что лежат на дуге.

На отрезке оказывается один корень: $x=-\dfrac{2\pi}{3}$.

Это ответ пункта б).

Совет. Отбор корней на ЕГЭ нужно показывать рисунком (окружность с дугой и отмеченными точками) или явным двойным неравенством для $k$ — иначе пункт б могут не зачесть даже при верном числовом ответе.