Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00014405

Перед нами уравнение, в котором углы записаны со сдвигами на $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$. Чтобы свести всё к одному углу $x$, применим формулы приведения.

Вспоминаем: $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$ — синус и косинус «сдвинутого» угла выражаются через функции самого $x$.

Слагаемое со сдвинутым углом раскроем по формуле косинуса разности и подставим табличные значения:

$$\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos x\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin x\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x.$$

Подставляем всё в уравнение и приводим подобные слагаемые. Уравнение становится равносильным простому:

$$\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=0.$$

Это однородное уравнение первой степени. Прежде чем делить на $\cos x$, убедимся, что $\cos x\ne 0$: если бы $\cos x=0$, то из уравнения следовало бы и $\sin x=0$, а одновременно в ноль синус и косинус не обращаются. Значит, делить на $\cos x$ можно.

Разделим обе части на $\cos x$ и перейдём к тангенсу:

$$\operatorname{tg} x=1.$$

$$x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

Мы получили ответ пункта а) — это все корни уравнения.

Перейдём к пункту б): из найденной серии выберем корни, попадающие в отрезок $\left[\dfrac{\pi}{2};\ 2\pi\right]$.

Отметим на тригонометрической окружности дугу, отвечающую этому отрезку (её начало и конец), и нанесём точки серии решений. В отрезок попадают только те, что лежат на дуге.

На отрезке оказывается один корень: $x=\dfrac{5\pi}{4}$.

Это ответ пункта б).

Совет. Отбор корней на ЕГЭ нужно показывать рисунком (окружность с дугой и отмеченными точками) или явным двойным неравенством для $k$ — иначе пункт б могут не зачесть даже при верном числовом ответе.