Задание 11 ЕГЭ по математике №00014376

Спрашивают скорость того, кто финишировал первым, — обозначим её за $x$ км/ч. Тогда второй ехал на $5$ км/ч медленнее, его скорость $x-5$ км/ч.

Дистанция у обоих одна — $90$ км. Время каждого равно расстоянию, делённому на скорость:

$$t_1=\dfrac{90}{x},\qquad t_2=\dfrac{90}{x-5}.$$

Первый приехал на $1{,}5$ часа раньше — значит у второго времени ушло на $1{,}5$ часа больше. Запишем эту разницу:

$$\dfrac{90}{x-5}-\dfrac{90}{x}=1{,}5.$$

Приводим левую часть к общему знаменателю $x(x-5)$:

$$\dfrac{90x-90(x-5)}{x(x-5)}=1{,}5.$$

В числителе $90x$ сокращается, остаётся $90\cdot 5=450$:

$$\dfrac{450}{x(x-5)}=1{,}5.$$

Домножим на $x(x-5)$ и разделим на $1{,}5$:

$$x(x-5)=300\;\Rightarrow\;x^{2}-5x-300=0.$$

Дискриминант квадратного уравнения:

$$D=5^{2}+4\cdot 300=1225=35^{2}.$$

Положительный корень:

$$x=\dfrac{5+35}{2}=20.$$

Скорость велосипедиста, пришедшего первым, равна $20$ км/ч.

Проверим: первый $\dfrac{90}{20}=4{,}5$ ч, второй $\dfrac{90}{15}=6$ ч; разница $6-4{,}5=1{,}5$ ч — верно.