Задание 11 ЕГЭ по математике №00014375

Скорость на пути «туда», из $A$ в $B$, нам неизвестна — обозначим её за $x$ км/ч. По условию обратно велосипедист ехал на $3$ км/ч быстрее, значит его скорость на пути из $B$ в $A$ равна $x+3$ км/ч.

Расстояние в одну сторону одно и то же — $72$ км. Поэтому чистое время в движении туда равно пути, делённому на скорость:

$$t_{AB}=\dfrac{72}{x}.$$

Время движения обратно (пока без остановки) считаем так же:

$$t_{BA}=\dfrac{72}{x+3}.$$

Но на обратном пути велосипедист ещё $2$ часа стоял. Значит вся обратная поездка заняла время в движении плюс эти два часа: $\dfrac{72}{x+3}+2$.

По условию на обратную дорогу ушло столько же времени, сколько на путь туда. Приравниваем два времени:

$$\dfrac{72}{x}=\dfrac{72}{x+3}+2.$$

Перенесём дроби в одну часть и приведём к общему знаменателю $x(x+3)$:

$$\dfrac{72(x+3)-72x}{x(x+3)}=2.$$

В числителе $72x$ сокращается, остаётся $72\cdot 3=216$:

$$\dfrac{216}{x(x+3)}=2.$$

Домножим обе части на $x(x+3)$ и разделим на $2$:

$$x(x+3)=108\;\Rightarrow\;x^{2}+3x-108=0.$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$$D=3^{2}+4\cdot 108=441=21^{2}.$$

Берём положительный корень (скорость не может быть отрицательной):

$$x=\dfrac{-3+21}{2}=9.$$

Это скорость на пути «туда». А спрашивают скорость из $B$ в $A$ — она на $3$ больше: $9+3=12$ км/ч.

Проверим: туда $\dfrac{72}{9}=8$ часов; обратно $\dfrac{72}{12}+2=6+2=8$ часов — времена совпали.