Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00014004

Перед нами произведение двух множителей, поэтому производную считаем по правилу произведения. Множитель $e^{x-5}$ при дифференцировании не меняется, а $(x+5)$ даёт единицу.

Получаем: $y' = 1\cdot e^{x-5} + (x+5)\cdot e^{x-5} = e^{x-5}(x+6)$.

Приравниваем к нулю: $e^{x-5}(x+6) = 0$. Экспонента всегда положительна и нулём не бывает, поэтому обнуляется только скобка: $x + 6 = 0$, откуда $x = -6$.

Знак производной задаёт именно скобка $(x+6)$, ведь экспонента всегда со знаком «плюс». Левее $-6$ скобка отрицательна (функция убывает), правее — положительна (функция растёт). Спуск сменяется подъёмом, значит в точке $x = -6$ минимум.

Значит, точка минимума — это $x = -6$.