Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00014000

Начнём с упрощения: степень из-под логарифма выносится вперёд, поэтому $\ln(x+5)^9 = 9\ln(x+5)$, и функция принимает вид $y = 9x - 9\ln(x+5)$.

Логарифм требует положительного аргумента, значит $x + 5 > 0$, то есть $x > -5$. Весь отрезок $[-4{,}5;\ 0]$ лежит правее, так что всё определено.

Наименьшее значение подскажет производная — она ловит точку разворота. Находим: $y' = 9 - \dfrac{9}{x+5}$.

Приравниваем к нулю: $9 - \dfrac{9}{x+5} = 0$, отсюда $\dfrac{9}{x+5} = 9$, значит $x + 5 = 1$ и $x = -4$. Эта точка попадает в отрезок.

Проверим знаки: левее $-4$ производная отрицательная (функция убывает), правее — положительная (функция растёт). Спуск сменяется подъёмом, поэтому в точке $x = -4$ минимум — здесь и самое маленькое значение.

Подставляем: $y(-4) = 9\cdot(-4) - 9\ln(-4+5) = -36 - 9\ln 1 = -36 - 0 = -36$.

Значит, наименьшее значение функции равно $-36$.