Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00013998

Сначала упростим: степень из-под логарифма выносится вперёд множителем, ведь $\ln(x-2)^9 = 9\ln(x-2)$. Тогда функция превращается в $y = 9x - 9\ln(x-2) - 8$.

Не забываем про область определения: под логарифмом должно стоять положительное число, поэтому $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$. Точку минимума ищем только здесь.

Точку разворота ловит производная, поэтому находим её: $y' = 9 - \dfrac{9}{x-2}$.

Приравняем производную к нулю: $9 - \dfrac{9}{x-2} = 0$, значит $\dfrac{9}{x-2} = 9$, откуда $x - 2 = 1$ и $x = 3$.

Теперь смотрим на знаки. Чуть правее двойки производная отрицательная — функция убывает; правее тройки она положительная — функция растёт. Спуск сменяется подъёмом, значит в точке $x = 3$ минимум.

Значит, точка минимума — это $x = 3$.