Сразу отметим главное: на рисунке изображён график производной f'(x), а не самой функции f. Поэтому о поведении функции мы судим по знаку и нулям её производной.

Наименьшее значение на отрезке — в точке минимума или на конце. Если на отрезке f'<0 (функция убывает), наименьшее значение — в правом конце.

Действуем по шагам. Смотрим на знак производной на всём отрезке: если она одного знака, функция монотонна, и нужное значение достигается на одном из концов отрезка. Если знак меняется — проверяем ещё и точку экстремума.

На отрезке [-5;-2] производная отрицательна, функция убывает, наименьшее значение — в левом конце x=-5.