Второй логарифм имеет переменное основание (x+4)^{2}. Сведём всё к одной букве p=\log_7(x+4) — и получится привычное дробное неравенство.

Область определения: x+4\gt 0 (то есть x\gt -4), основание (x+4)^{2}\ne 1 выкалывает x=-3 и x=-5. Внутри x\gt -4 это значит x\ne -3.

Перепишем через p=\log_7(x+4). Первый логарифм: \log_{49}(x+4)=\dfrac12\log_7(x+4)=\dfrac{p}{2} (ведь 49=7^{2}). Второй: \log_{(x+4)^{2}}\sqrt7=\dfrac{\log_7\sqrt7}{\log_7(x+4)^{2}}=\dfrac{1/2}{2p}=\dfrac{1}{4p}.

Неравенство \dfrac{p}{2}+\dfrac{1}{4p}\leqslant -\dfrac34 умножим на 4 и соберём в одну дробь:

2p+\dfrac{1}{p}+3\leqslant 0,\qquad \dfrac{2p^{2}+3p+1}{p}\leqslant 0,\qquad \dfrac{(2p+1)(p+1)}{p}\leqslant 0.

Методом интервалов (p=0 выколота): p\leqslant -1 или -\dfrac12\leqslant p\lt 0.

Возвращаемся через x+4=7^{p}. Из p\leqslant -1: x+4\leqslant 7^{-1}=\dfrac17, то есть -4\lt x\leqslant -\dfrac{27}{7}. Из -\dfrac12\leqslant p\lt 0: \dfrac{1}{\sqrt7}\leqslant x+4\lt 1, то есть -4+\dfrac{1}{\sqrt7}\leqslant x\lt -3. Итог: \left(-4;-\dfrac{27}{7}\right]\cup\left[-4+\dfrac{1}{\sqrt7};-3\right).