Во втором логарифме основание x^{2}+10x+25=(x+5)^{2} — оно зависит от x. Удобно ввести одну букву для \log_2(x+5) и свести всё к привычной дроби.

Область определения: x+5\gt 0 (то есть x\gt -5), а основание (x+5)^{2}\ne 1 выкалывает x=-4 и x=-6. Внутри x\gt -5 это значит только x\ne -4.

Перепишем оба логарифма через t=\log_2(x+5). Первый: \log_{16}(x+5)=\dfrac14\log_2(x+5)=\dfrac{t}{4} (ведь 16=2^{4}). Второй: \log_{(x+5)^{2}}2=\dfrac{1}{\log_2(x+5)^{2}}=\dfrac{1}{2t}. Неравенство становится:

\dfrac{t}{4}+\dfrac{1}{2t}\geqslant \dfrac34.

Умножим всё на 4 и перенесём вправо налево: t+\dfrac{2}{t}-3\geqslant 0. Приведём к одной дроби:

\dfrac{t^{2}-3t+2}{t}\geqslant 0,\qquad \dfrac{(t-1)(t-2)}{t}\geqslant 0.

Методом интервалов (точка t=0 выколота) получаем 0\lt t\leqslant 1 или t\geqslant 2.

Возвращаемся к x через x+5=2^{t}. Из 0\lt t\leqslant 1: 1\lt x+5\leqslant 2, то есть -4\lt x\leqslant -3. Из t\geqslant 2: x+5\geqslant 4, то есть x\geqslant -1. Вместе — (-4;-3]\cup[-1;+\infty).