Под первым логарифмом стоит произведение, которое раскладывается на множители, а основания 4 и 2 легко привести к одному. Это и есть путь к упрощению.

Заметим, что x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3), поэтому аргумент первого логарифма равен (x-5)\cdot(x-5)(x+3)=(x-5)^{2}(x+3). Область определения: (x-5)^{2}(x+3)\gt 0, то есть x\gt -3 и x\ne 5.

Приведём всё к основанию 2. Слева: \log_4\big((x-5)^{2}(x+3)\big)=\dfrac12\big(2\log_2|x-5|+\log_2(x+3)\big)=\log_2|x-5|+\dfrac12\log_2(x+3). Справа: 0{,}5\log_2(x-5)^{2}=\log_2|x-5|.

Подставляем в неравенство; одинаковые слагаемые \log_2|x-5| сокращаются, и остаётся:

\dfrac12\log_2(x+3)+1\geqslant 0,\qquad \log_2(x+3)\geqslant -2.

Это значит x+3\geqslant 2^{-2}=\dfrac14, откуда x\geqslant -\dfrac{11}{4}.

Накладываем ОДЗ (x\gt -3, x\ne 5) и получаем \left[-\dfrac{11}{4};5\right)\cup(5;+\infty).