Задание 19 ЕГЭ по математике №00013756

Рассматриваем только положительные $a$. Подставим $y=\sqrt{x+4}$ (это требует $x\ge-4$ и даёт $y\ge0$) в уравнение $|x|+|y|=a$. Так как $y\ge0$, то $|y|=y$, и получаем уравнение одной переменной:

$$|x|+\sqrt{x+4}=a.$$

Исследуем функцию $f(x)=|x|+\sqrt{x+4}$ слева. На участке $[-4;0]$ она убывает, на $[0;+\infty)$ — возрастает, наименьшее значение в точке $x=0$ равно $\sqrt4=2$.

Число решений = число пересечений графика $f(x)$ с горизонтальной прямой высоты $a$. Два пересечения получаются, когда прямая выше минимума $2$, но не выше значения в «угле» $x=-4$ (где $f(-4)=4$).

Это даёт интервал $(2;4)$. Плюс отдельная точка $a=\dfrac{17}{4}$ — там прямая касается «возрастающей ветви» (касательный случай), что тоже даёт ровно два решения.