Рассматриваем только положительные a. Подставим y=\sqrt{x+4} (это требует x\ge-4 и даёт y\ge0) в уравнение |x|+|y|=a. Так как y\ge0, то |y|=y, и получаем уравнение одной переменной:

|x|+\sqrt{x+4}=a.

Исследуем функцию f(x)=|x|+\sqrt{x+4} слева. На участке [-4;0] она убывает, на [0;+\infty) — возрастает, наименьшее значение в точке x=0 равно \sqrt4=2.

Число решений = число пересечений графика f(x) с горизонтальной прямой высоты a. Два пересечения получаются, когда прямая выше минимума 2, но не выше значения в «угле» x=-4 (где f(-4)=4).

Это даёт интервал (2;4). Плюс отдельная точка a=\dfrac{17}{4} — там прямая касается «возрастающей ветви» (касательный случай), что тоже даёт ровно два решения.

Ответ: (2;4)\cup\left\{\dfrac{17}{4}\right\}.