Задание 19 ЕГЭ по математике №00013752

Чтобы понизить степени, введём замену $u=x^2$ (тогда $u\ge0$). Из второго уравнения $y=|2a-4|-u$. Подставляем в первое $x^4+y^2=a^2$, то есть $u^2+y^2=a^2$:

$$u^2+\big(|2a-4|-u\big)^2=a^2\ \Rightarrow\ 2u^2-2|2a-4|\,u+\big(|2a-4|^2-a^2\big)=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $u$. Каждый ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ корень $u$ даёт два значения $x=\pm\sqrt u$ (и одно $y$), то есть два решения; корень $u=0$ — одно.

Четыре различных решения получаются, когда квадратное уравнение по $u$ имеет ДВА различных положительных корня. Записываем условия: дискриминант положителен, оба корня положительны (по теореме Виета — сумма и произведение положительны).

Сводя условия, получаем ответ $(4-2\sqrt2;\tfrac43)\cup(4;4+2\sqrt2)$.