Чтобы понизить степени, введём замену u=x^2 (тогда u\ge0). Из второго уравнения y=|2a-4|-u. Подставляем в первое x^4+y^2=a^2, то есть u^2+y^2=a^2:

u^2+\big(|2a-4|-u\big)^2=a^2\ \Rightarrow\ 2u^2-2|2a-4|\,u+\big(|2a-4|^2-a^2\big)=0.

Это квадратное уравнение относительно u. Каждый ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ корень u даёт два значения x=\pm\sqrt u (и одно y), то есть два решения; корень u=0 — одно.

Четыре различных решения получаются, когда квадратное уравнение по u имеет ДВА различных положительных корня. Записываем условия: дискриминант положителен, оба корня положительны (по теореме Виета — сумма и произведение положительны).

Сводя условия, получаем ответ (4-2\sqrt2;\tfrac43)\cup(4;4+2\sqrt2).