ID: 00013749
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases}\log_{3}(16-y^{2})=\log_{3}(16-a^{2}x^{2})\\ x^{2}+y^{2}=8x+4y\end{cases}$ имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Первое уравнение — равенство логарифмов: $\log_3(16-y^2)=\log_3(16-a^2x^2)$. Логарифмы равны, когда равны аргументы И положительны: $16-y^2=16-a^2x^2\gt 0$. Отсюда $y^2=a^2x^2$, то есть $y=ax$ или $y=-ax$ — ПАРА ПРЯМЫХ через начало; плюс ограничение $|y|\lt 4$.
Второе уравнение — окружность: $x^2+y^2=8x+4y$ равносильно $(x-4)^2+(y-2)^2=20$.
Значит решения — это общие точки окружности с двумя прямыми $y=\pm ax$, при условии $|y|\lt 4$. Точка $(0,0)$ лежит на окружности и на обеих прямых — она решение почти всегда.
Считаем точки пересечения каждой прямой с окружностью (это квадратные уравнения), отбрасываем те, где $|y|\ge4$, и убираем повторы. Цель — ровно два решения.
Перебирая $a$ (особые значения — $0,\ \pm\dfrac12,\ \pm2$, где меняется число точек или срабатывает ограничение $|y|\lt 4$), получаем ответ.
$(-\infty;-2)\cup\left(-2;-\dfrac12\right]\cup\{0\}\cup\left[\dfrac12;2\right)\cup(2;+\infty)$