ID: 00013747
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases}\sqrt{a-y^{2}}=\sqrt{a-x^{2}}\\ x^{2}+y^{2}=2x+4y\end{cases}$ имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Первое уравнение $\sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2}$ равносильно $y^2=x^2$ при $x^2\le a$ — это прямые $y=\pm x$ внутри круга $x^2\le a$. Второе — окружность $(x-1)^2+(y-2)^2=5$. Цель — ровно два решения.
Пересечём прямые с окружностью. $y=x$: $(x-1)^2+(x-2)^2=5$, то есть $2x^2-6x=0$, откуда $x=0$ или $x=3$ — точки $(0,0)$ и $(3,3)$.
$y=-x$: $(x-1)^2+(-x-2)^2=5$, то есть $2x^2+2x=0$, откуда $x=0$ или $x=-1$ — точки $(0,0)$ и $(-1,1)$.
Три кандидата: $(0,0)$, $(3,3)$, $(-1,1)$. Условие $x^2\le a$: для $(0,0)$ нужно $a\ge0$, для $(-1,1)$ нужно $a\ge1$, для $(3,3)$ нужно $a\ge9$.
При $0\le a\lt 1$ проходит лишь $(0,0)$; при $1\le a\lt 9$ — $(0,0)$ и $(-1,1)$ (ровно две); при $a\ge9$ добавляется $(3,3)$ — три.
Ровно две точки — при $1\le a\lt 9$. Ответ: $[1;9)$.
$[1;\,9)$