Первое уравнение \log_{11}(a-y^2)=\log_{11}(a-x^2) равносильно y^2=x^2 при a-x^2\gt 0, то есть это прямые y=x и y=-x, но только в полосе x^2\lt a (значит обязательно a\gt 0). Второе — окружность (x-1)^2+(y-3)^2=10. Цель — ровно два решения.

Найдём пересечения каждой прямой с окружностью. Подставим y=x: (x-1)^2+(x-3)^2=10, то есть 2x^2-8x=0, откуда x=0 или x=4 — точки (0,0) и (4,4).

Подставим y=-x: (x-1)^2+(-x-3)^2=10, то есть 2x^2+4x=0, откуда x=0 или x=-2 — точки (0,0) и (-2,-2).

Итак, всего три различные точки-кандидата: (0,0), (4,4) и (-2,-2). Каждую оставляем, только если выполнено x^2\lt a: для (0,0) нужно a\gt 0, для (-2,-2) нужно a\gt 4, для (4,4) нужно a\gt 16.

Считаем, сколько точек проходит: при 0\lt a\le4 — только (0,0) (одна); при 4\lt a\le16 — (0,0) и (-2,-2) (ровно две!); при a\gt 16 добавляется (4,4) — уже три.

Значит ровно две точки — при 4\lt a\le16. Ответ: (4;16].