ID: 00013746
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases}\log_{11}(a-y^{2})=\log_{11}(a-x^{2})\\ x^{2}+y^{2}=2x+6y\end{cases}$ имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Первое уравнение $\log_{11}(a-y^2)=\log_{11}(a-x^2)$ равносильно $y^2=x^2$ при $a-x^2\gt 0$, то есть это прямые $y=x$ и $y=-x$, но только в полосе $x^2\lt a$ (значит обязательно $a\gt 0$). Второе — окружность $(x-1)^2+(y-3)^2=10$. Цель — ровно два решения.
Найдём пересечения каждой прямой с окружностью. Подставим $y=x$: $(x-1)^2+(x-3)^2=10$, то есть $2x^2-8x=0$, откуда $x=0$ или $x=4$ — точки $(0,0)$ и $(4,4)$.
Подставим $y=-x$: $(x-1)^2+(-x-3)^2=10$, то есть $2x^2+4x=0$, откуда $x=0$ или $x=-2$ — точки $(0,0)$ и $(-2,-2)$.
Итак, всего три различные точки-кандидата: $(0,0)$, $(4,4)$ и $(-2,-2)$. Каждую оставляем, только если выполнено $x^2\lt a$: для $(0,0)$ нужно $a\gt 0$, для $(-2,-2)$ нужно $a\gt 4$, для $(4,4)$ нужно $a\gt 16$.
Считаем, сколько точек проходит: при $0\lt a\le4$ — только $(0,0)$ (одна); при $4\lt a\le16$ — $(0,0)$ и $(-2,-2)$ (ровно две!); при $a\gt 16$ добавляется $(4,4)$ — уже три.
Значит ровно две точки — при $4\lt a\le16$. Ответ: $(4;16]$.
$(4;\,16]$