В первом уравнении выражение x^2+y^2+4x — это окружность: x^2+y^2+4x=0 равносильно (x+2)^2+y^2=4 (центр (-2,0), радиус 2). Подставим прямую y=x+a. Цель — ровно два решения. ОДЗ корня: 2x+y+6\ge0.

Два типа решений. Первый: \sqrt{2x+y+6}=0 — точка прямой y=x+a на прямой 2x+y+6=0 (одно решение). Второй: точки окружности на прямой y=x+a, удовлетворяющие 2x+y+6\ge0 — это корни квадратного 2x^2+(2a+4)x+a^2=0.

Геометрически: прямая y=x+a скользит с параметром a. Считаем её общие точки с окружностью (с учётом ограничения-полуплоскости) плюс граничную точку.

Ровно два решения получается на отрезке \left[0;\dfrac{24}{5}\right] (когда прямая режет окружность как надо) и в двух точках касания a=2\pm2\sqrt2 (там прямая касается окружности).

Ответ: \{2-2\sqrt2\}\cup\left[0;\dfrac{24}{5}\right]\cup\{2+2\sqrt2\}.