ID: 00013744
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \begin{cases}(x^{2}+y^{2}+4x)\cdot\sqrt{2x+y+6}=0\\ y=ax-2a\end{cases} имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Та же окружность (x+2)^2+y^2=4, но прямая y=a(x-2) — она проходит через неподвижную точку (2,0) и поворачивается с параметром. Цель — ровно два решения. ОДЗ: 2x+y+6\ge0.
Граничная точка (2x+y+6=0) плюс пересечения окружности с поворачивающейся прямой (квадратное (1+a^2)x^2+(4-4a^2)x+4a^2=0) дают решения.
Считая общие точки с учётом полуплоскости, получаем отрезок \left[-\dfrac{3}{14};\dfrac12\right] и две точки касания \pm\dfrac{\sqrt3}{3}.
Ответ: \left\{-\dfrac{\sqrt3}{3}\right\}\cup\left[-\dfrac{3}{14};\dfrac12\right]\cup\left\{\dfrac{\sqrt3}{3}\right\}.
\left\{-\dfrac{\sqrt3}{3}\right\}\cup\left[-\dfrac{3}{14};\,\dfrac12\right]\cup\left\{\dfrac{\sqrt3}{3}\right\}