Задание 18 ЕГЭ по математике №00013741

В системе первое уравнение — произведение скобки на квадратный корень: $(xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0$. Подставим $y=3x+a$ из второго уравнения, чтобы всё свести к одной переменной $x$. Цель — ровно два различных решения.

ОДЗ корня: подкоренное $y-2x+12\ge0$. С учётом $y=3x+a$ это $x+a+12\ge0$, то есть $x\ge-a-12$.

Произведение равно нулю в двух случаях. Первый: обнуляется корень, $y-2x+12=0$, то есть $x=-a-12$. Это ВСЕГДА даёт одно решение — точку на границе ОДЗ. (Важно его не забыть!)

Второй случай: обнуляется скобка $xy-2x+12=0$. Подставив $y=3x+a$, получаем квадратное уравнение $3x^2+(a-2)x+12=0$; берём его корни, но только те, что удовлетворяют $x\ge-a-12$.

Теперь считаем РАЗЛИЧНЫЕ решения. Граничное решение всегда одно; значит нужно, чтобы квадратное уравнение дало ровно один подходящий корень (отличный от граничного), либо чтобы возникли особые совпадения.

Исследуя дискриминант квадратного уравнения ($(a-2)^2-144\ge0$, то есть $a\le-10$ или $a\ge14$) и условие $x\ge-a-12$, получаем: ровно два решения — на промежутке $(-18;-13]$ и в отдельных точках $a=-10$ и $a=14$ (там квадратное уравнение даёт двойной корень, который вместе с граничным даёт ровно два).