Задание 19 ЕГЭ по математике №00013740

Та же конструкция $(xy-2x+16)\sqrt{y-2x+16}=0$, но прямая другая: $y=ax-14$. Цель — ровно два решения.

Подставляем $y=ax-14$. ОДЗ корня: $y-2x+16\ge0$, то есть $(a-2)x+2\ge0$.

Граничное решение (корень $=0$): $(a-2)x+2=0$ — одна точка (при $a\ne2$).

Скобка $xy-2x+16=0$ даёт $ax^2-16x+16=0$ — корни берём с учётом ОДЗ.

Считаем различные решения. Отдельно обрабатываем случай $a=2$: тогда подкоренное равно постоянной $2\gt 0$, граничного решения нет, но квадратное уравнение даёт два корня — это ровно два решения.

Полный разбор даёт ответ $(-\infty;0)\cup\left(0;\dfrac74\right]\cup\{2\}\cup\{4\}$.