ID: 00013740
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \begin{cases}(xy-2x+16)\cdot\sqrt{y-2x+16}=0\\ y=ax-14\end{cases} имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Та же конструкция (xy-2x+16)\sqrt{y-2x+16}=0, но прямая другая: y=ax-14. Цель — ровно два решения.
Подставляем y=ax-14. ОДЗ корня: y-2x+16\ge0, то есть (a-2)x+2\ge0.
Граничное решение (корень =0): (a-2)x+2=0 — одна точка (при a\ne2).
Скобка xy-2x+16=0 даёт ax^2-16x+16=0 — корни берём с учётом ОДЗ.
Считаем различные решения. Отдельно обрабатываем случай a=2: тогда подкоренное равно постоянной 2\gt 0, граничного решения нет, но квадратное уравнение даёт два корня — это ровно два решения.
Полный разбор даёт ответ (-\infty;0)\cup\left(0;\dfrac74\right]\cup\{2\}\cup\{4\}.
(-\infty;0)\cup\left(0;\dfrac74\right]\cup\{2\}\cup\{4\}