Задание 19 ЕГЭ по математике №00013739

Разложим скобку: $xy^2-3xy-3y+9=(y-3)(xy-3)$. Система $(y-3)(xy-3)\sqrt{x-3}=0$ с $y=ax$. Цель — ровно три решения. ОДЗ: $x\ge3$.

Три способа обнуления: (1) $\sqrt{x-3}=0$, то есть $x=3$ — точка $(3,3a)$, всегда решение; (2) $y=3$, то есть $x=\dfrac3a$ (при $x\ge3$); (3) $xy=3$, то есть $ax^2=3$, $x=\sqrt{3/a}$ (при $a\gt 0$, $x\ge3$).

Считаем различные точки при $x\ge3$. Точка $x=3$ есть всегда; нужно, чтобы ещё ровно два корня попали в зону $x\ge3$.

Разбор даёт интервал $\left(0;\dfrac13\right)$.