ID: 00013736
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
|x^{2}+a^{2}-6x+4a|=2x-2a
имеет ровно два различных корня.
Источник: ФИПИ
Уравнение то же, что в задаче на четыре корня (|x^2+a^2-6x+4a|=2x-2a, условие x\ge a), но теперь нужно РОВНО ДВА корня.
Раскрываем модуль на два квадратных уравнения (случаи «плюс» и «минус»), находим корни и оставляем те, что удовлетворяют x\ge a.
Ровно два — это «дополнение» к случаю четырёх корней: либо одна пара дала корни, а другая нет, либо часть корней не прошла условие x\ge a.
Перебирая по дискриминантам и условию x\ge a, получаем три промежутка.
Ответ: (-8;-1-\sqrt5)\cup(0;1)\cup(\sqrt5-1;2).
(-8;\,-1-\sqrt5)\cup(0;\,1)\cup(\sqrt5-1;\,2)