Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013732

Основание здесь $2$, поэтому замена $t=2^x\gt 0$ (каждому $t\gt 0$ — один $x$). Цель — ровно один корень.

После переноса и группировки выражение раскладывается:

$$(t-(6-a))(t-(3|a|+2))=0\ \Rightarrow\ t=6-a\ \text{или}\ t=3|a|+2.$$

Второй множитель $3|a|+2\ge2\gt 0$ даёт корень всегда. Первый даёт корень, когда $6-a\gt 0$, то есть при $a\lt 6$.

Ровно один корень: либо $a\ge6$ (работает только второй множитель), либо два значения $t$ совпадают.

Совпадение $6-a=3|a|+2$: при $a\ge0$ это $a=1$; при $a\lt 0$ это $a=-2$.

Итог: $\{-2\}\cup\{1\}\cup[6;+\infty)$.