ID: 00013732
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
4^{x}+(a-6)\,2^{x}=(3|a|+2)\,2^{x}+(a-6)(3|a|+2)
имеет ровно один корень.
Источник: ФИПИ
Основание здесь 2, поэтому замена t=2^x\gt 0 (каждому t\gt 0 — один x). Цель — ровно один корень.
После переноса и группировки выражение раскладывается:
(t-(6-a))(t-(3|a|+2))=0\ \Rightarrow\ t=6-a\ \text{или}\ t=3|a|+2.
Второй множитель 3|a|+2\ge2\gt 0 даёт корень всегда. Первый даёт корень, когда 6-a\gt 0, то есть при a\lt 6.
Ровно один корень: либо a\ge6 (работает только второй множитель), либо два значения t совпадают.
Совпадение 6-a=3|a|+2: при a\ge0 это a=1; при a\lt 0 это a=-2.
Итог: \{-2\}\cup\{1\}\cup[6;+\infty).
\{-2\}\cup\{1\}\cup[6;\,+\infty)