ID: 00013730
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\dfrac{4x^{2}-a^{2}}{x^{2}+6x+9-a^{2}}=0
имеет ровно два различных корня.
Источник: ФИПИ
Дробь равна нулю при нулевом числителе и НЕнулевом знаменателе. Цель — ровно два различных корня.
Числитель: 4x^2-a^2=0, кандидаты x=\dfrac{a}{2} и x=-\dfrac{a}{2}.
Знаменатель: x^2+6x+9-a^2=(x+3)^2-a^2\ne0.
Два корня — при a\ne0 (иначе кандидаты сливаются в нуль) и когда ни один не обнуляет знаменатель.
Подставив x=\pm\dfrac{a}{2} в (x+3)^2=a^2, находим опасные значения: a=\pm2 и a=\pm6 (там корень сокращается со знаменателем).
Поэтому исключаем 0,\ \pm2,\ \pm6: ответ (-\infty;-6)\cup(-6;-2)\cup(-2;0)\cup(0;2)\cup(2;6)\cup(6;+\infty). (В банке здесь стояла точка 3 — это была опечатка, по существу «вылетает» именно \pm2.)
(-\infty;-6)\cup(-6;-2)\cup(-2;0)\cup(0;2)\cup(2;6)\cup(6;+\infty)