Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013730

Дробь равна нулю при нулевом числителе и НЕнулевом знаменателе. Цель — ровно два различных корня.

Числитель: $4x^2-a^2=0$, кандидаты $x=\dfrac{a}{2}$ и $x=-\dfrac{a}{2}$.

Знаменатель: $x^2+6x+9-a^2=(x+3)^2-a^2\ne0$.

Два корня — при $a\ne0$ (иначе кандидаты сливаются в нуль) и когда ни один не обнуляет знаменатель.

Подставив $x=\pm\dfrac{a}{2}$ в $(x+3)^2=a^2$, находим опасные значения: $a=\pm2$ и $a=\pm6$ (там корень сокращается со знаменателем).

Поэтому исключаем $0,\ \pm2,\ \pm6$: ответ $(-\infty;-6)\cup(-6;-2)\cup(-2;0)\cup(0;2)\cup(2;6)\cup(6;+\infty)$. (В банке здесь стояла точка $3$ — это была опечатка, по существу «вылетает» именно $\pm2$.)