ID: 00013725
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\ln(4x-1)\cdot\sqrt{x^{2}-6x+6a-a^{2}}=0
имеет ровно один корень на отрезке [0;3].
Источник: ФИПИ
Здесь множители поменялись местами: \ln(4x-1)\cdot\sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0. Цель — ровно один корень на [0;3].
ОДЗ: 4x-1\gt 0 (под логарифмом строго больше нуля) и x^2-6x+6a-a^2\ge0 (под корнем неотрицательно).
Первый корень — обнуление логарифма: \ln(4x-1)=0, то есть 4x-1=1, откуда x=\dfrac12 (годится, если подкоренное там \ge0).
Второй корень — обнуление корня: x^2-6x+6a-a^2=0. Решим относительно x: x=3\pm\sqrt{9-6a+a^2}=3\pm|3-a|. Их берём, если они на отрезке [0;3] и 4x-1\gt 0.
Проходя по оси параметра и следя за тем, какой из корней на отрезке и не выпал из ОДЗ, получаем два промежутка.
Ответ: \left(\dfrac14;\dfrac12\right]\cup\left[\dfrac{11}{2};\dfrac{23}{4}\right).
\left(\dfrac14;\,\dfrac12\right]\cup\left[\dfrac{11}{2};\,\dfrac{23}{4}\right)