ID: 00013725
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\ln(4x-1)\cdot\sqrt{x^{2}-6x+6a-a^{2}}=0$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;3]$.
Источник: ФИПИ
Здесь множители поменялись местами: $\ln(4x-1)\cdot\sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0$. Цель — ровно один корень на $[0;3]$.
ОДЗ: $4x-1\gt 0$ (под логарифмом строго больше нуля) и $x^2-6x+6a-a^2\ge0$ (под корнем неотрицательно).
Первый корень — обнуление логарифма: $\ln(4x-1)=0$, то есть $4x-1=1$, откуда $x=\dfrac12$ (годится, если подкоренное там $\ge0$).
Второй корень — обнуление корня: $x^2-6x+6a-a^2=0$. Решим относительно $x$: $x=3\pm\sqrt{9-6a+a^2}=3\pm|3-a|$. Их берём, если они на отрезке $[0;3]$ и $4x-1\gt 0$.
Проходя по оси параметра и следя за тем, какой из корней на отрезке и не выпал из ОДЗ, получаем два промежутка.
$\left(\dfrac14;\,\dfrac12\right]\cup\left[\dfrac{11}{2};\,\dfrac{23}{4}\right)$