Цель — ровно один корень на [0;1]. Слева и справа общий множитель \sqrt{2x-1}, вынесем его.

\sqrt{2x-1}\,\big(\ln(4x-a)-\ln(5x+a)\big)=0.

ОДЗ: под корнем неотрицательно (2x-1\ge0, то есть x\ge\dfrac12 — это сразу отрезает левую половину отрезка!), а оба логарифма существуют (4x-a\gt 0, 5x+a\gt 0). Значит фактически ищем корни на \left[\dfrac12;1\right].

Первый корень — обнуление корня: \sqrt{2x-1}=0, то есть x=\dfrac12. Он годится, если в этой точке логарифмы определены: 2-a\gt 0 и \dfrac52+a\gt 0, то есть при -\dfrac52\lt a\lt 2.

Второй корень — равенство логарифмов 4x-a=5x+a, откуда x=-2a. Он попадает в \left[\dfrac12;1\right] при \dfrac12\le-2a\le1, то есть при -\dfrac12\le a\le-\dfrac14.

Совпадают корни при -2a=\dfrac12, то есть a=-\dfrac14. Проходим ось параметра.

• При -\dfrac52\lt a\lt -\dfrac12: второй корень требует a\ge-\dfrac12, его нет, работает только x=\dfrac12 — один корень.

• При -\dfrac12\le a\lt -\dfrac14: оба корня на отрезке и различны — два.

• При a=-\dfrac14: корни сливаются — снова один.

• При -\dfrac14\lt a\lt 2: второй корень x=-2a\lt \dfrac12 выходит из рабочей зоны, остаётся x=\dfrac12 — один.

• При a\le-\dfrac52 или a\ge2: x=\dfrac12 выпадает из ОДЗ — корней нет.

Собираем: \left(-\dfrac52;-\dfrac12\right) и \left[-\dfrac14;2\right).