Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013719

Та же идея: слева и справа квадраты, применяем разность квадратов.

С $A=x+\ln(x+a)$, $B=x-\ln(x+a)$ получаем $A-B=2\ln(x+a)$, $A+B=2x$, поэтому:

$$x\cdot\ln(x+a)=0,\qquad x+a\gt 0\ (\text{ОДЗ}).$$

Корень $x=0$ годится при $a\gt 0$. Корень из $\ln(x+a)=0$: $x=1-a$; он на отрезке при $0\le a\le1$.

Совпадают при $a=1$. Проходим ось параметра.

• При $a\le0$: $x=0$ вне ОДЗ; $x=1-a$ при $a=0$ равен $1$, при $a\lt 0$ выходит вправо. Значит при $a=0$ один корень, при $a\lt 0$ — ни одного.

• При $0\lt a\lt 1$: оба корня на отрезке и различны — два.

• При $a\ge1$: $x=1-a$ ушёл влево (или слился с нулём), остаётся $x=0$ — один.

Итог: точка $a=0$ и луч $a\ge1$.