Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение левая круглая скобка x плюс ln левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате равно левая круглая скобка x минус ln левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате имеет ровно один корень на отрезке левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка .

{0} объединение левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения параметра a , при каждом из которых…

ID: 00013719

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\big(x+\ln(x+a)\big)^{2}=\big(x-\ln(x+a)\big)^{2}$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$ .

Источник: ФИПИ

Та же идея: слева и справа квадраты, применяем разность квадратов.

С $A=x+\ln(x+a)$ , $B=x-\ln(x+a)$ получаем $A-B=2\ln(x+a)$ , $A+B=2x$ , поэтому:

$x\cdot\ln(x+a)=0,\qquad x+a\gt 0\ (\text{ОДЗ}).$

Корень $x=0$ годится при $a\gt 0$ . Корень из $\ln(x+a)=0$ : $x=1-a$ ; он на отрезке при $0\le a\le1$ .

Совпадают при $a=1$ . Проходим ось параметра.

• При $a\le0$ : $x=0$ вне ОДЗ; $x=1-a$ при $a=0$ равен $1$ , при $a\lt 0$ выходит вправо. Значит при $a=0$ один корень, при $a\lt 0$ — ни одного.

• При $0\lt a\lt 1$ : оба корня на отрезке и различны — два.

• При $a\ge1$ : $x=1-a$ ушёл влево (или слился с нулём), остаётся $x=0$ — один.

Итог: точка $a=0$ и луч $a\ge1$ .

$\{0\}\cup[1;\,+\infty)$