ID: 00013718
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\big(2x+\ln(x+2a)\big)^{2}=\big(2x-\ln(x+2a)\big)^{2}$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
Источник: ФИПИ
Слева и справа — квадраты двух почти одинаковых выражений. Не раскрываем их «в лоб», а применяем разность квадратов $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$.
Обозначим $L=\ln(x+2a)$, тогда $A=2x+L$, $B=2x-L$. Разность $A-B=2L$, сумма $A+B=4x$, поэтому $A^2-B^2=8x\,L$. Уравнение сводится к простому:
$$x\cdot\ln(x+2a)=0,\qquad x+2a\gt 0\ (\text{ОДЗ}).$$
Два корня-кандидата. Первый: $x=0$. Годится, если в ОДЗ: $2a\gt 0$, то есть $a\gt 0$.
Второй: $\ln(x+2a)=0$, значит $x+2a=1$, откуда $x=1-2a$. На отрезке при $0\le 1-2a\le1$, то есть при $0\le a\le\dfrac12$.
Совпадают корни при $a=\dfrac12$. Проходим ось параметра.
• При $a\le0$: корень $x=0$ не в ОДЗ. Корень $x=1-2a$ при $a=0$ равен $1$ (годится), а при $a\lt 0$ уходит вправо за отрезок. Значит при $a=0$ ровно один корень ($x=1$), а при $a\lt 0$ корней нет.
• При $0\lt a\lt \dfrac12$: оба корня на отрезке и различны — их два.
• При $a\ge\dfrac12$: корень $x=1-2a$ ушёл влево за отрезок (или слился с нулём), остаётся только $x=0$ — ровно один.
Итог: подходит изолированная точка $a=0$ и весь луч $a\ge\dfrac12$.
$\{0\}\cup\left[\dfrac12;\,+\infty\right)$