Слева и справа — квадраты двух почти одинаковых выражений. Не раскрываем их «в лоб», а применяем разность квадратов A^2-B^2=(A-B)(A+B).

Обозначим L=\ln(x+2a), тогда A=2x+L, B=2x-L. Разность A-B=2L, сумма A+B=4x, поэтому A^2-B^2=8x\,L. Уравнение сводится к простому:

x\cdot\ln(x+2a)=0,\qquad x+2a\gt 0\ (\text{ОДЗ}).

Два корня-кандидата. Первый: x=0. Годится, если в ОДЗ: 2a\gt 0, то есть a\gt 0.

Второй: \ln(x+2a)=0, значит x+2a=1, откуда x=1-2a. На отрезке при 0\le 1-2a\le1, то есть при 0\le a\le\dfrac12.

Совпадают корни при a=\dfrac12. Проходим ось параметра.

• При a\le0: корень x=0 не в ОДЗ. Корень x=1-2a при a=0 равен 1 (годится), а при a\lt 0 уходит вправо за отрезок. Значит при a=0 ровно один корень (x=1), а при a\lt 0 корней нет.

• При 0\lt a\lt \dfrac12: оба корня на отрезке и различны — их два.

• При a\ge\dfrac12: корень x=1-2a ушёл влево за отрезок (или слился с нулём), остаётся только x=0 — ровно один.

Итог: подходит изолированная точка a=0 и весь луч a\ge\dfrac12.