Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00013717

Цель — найти все $a$, при которых уравнение имеет на $[0;1]$ ровно один корень. Действуем как обычно: упрощаем, ищем корни-кандидаты, считаем их на отрезке.

Общий множитель здесь $(5x-2)$. Вынесем его за скобку.

$$(5x-2)\big(\ln(x+a)-\ln(2x-a)\big)=0.$$

Логарифмы должны существовать — запишем ОДЗ.

$$x+a\gt 0,\qquad 2x-a\gt 0.$$

Неподвижный корень: $5x-2=0$, то есть $x=\dfrac25$. Подставляем в ОДЗ: $\dfrac25+a\gt 0$ и $\dfrac45-a\gt 0$, значит он существует при $-\dfrac25\lt a\lt \dfrac45$.

Подвижный корень — из равенства аргументов $x+a=2x-a$, откуда $x=a$. Он на отрезке при $0\le a\le1$ и в ОДЗ при $a\gt 0$.

Считаем корни, двигаясь по оси параметра.

• При $-\dfrac25\lt a\le 0$: подвижный корень $x=a$ ещё не работает ($a\gt 0$ не выполнено), есть только $x=\dfrac25$ — один корень, годится.

• При $0\lt a\lt \dfrac12$: на отрезке оба корня и они различны — два корня. Слияние, оставляющее один корень, происходит при $a=\dfrac15$.

• При $\dfrac12\lt a\lt \dfrac45$: подвижный корень попадает в зону, где нарушается ОДЗ второго множителя, остаётся только $x=\dfrac25$ — один корень.

• Вне промежутка $\left(-\dfrac25;\dfrac45\right)$ неподвижный корень выпадает из ОДЗ — корней нет.

Собираем «хорошие» куски: $\left(-\dfrac25;\,0\right]$, точка $\dfrac15$ и $\left(\dfrac12;\,\dfrac45\right)$.