Цель — найти все a, при которых уравнение имеет на [0;1] ровно один корень. Действуем как обычно: упрощаем, ищем корни-кандидаты, считаем их на отрезке.

Общий множитель здесь (5x-2). Вынесем его за скобку.

(5x-2)\big(\ln(x+a)-\ln(2x-a)\big)=0.

Логарифмы должны существовать — запишем ОДЗ.

x+a\gt 0,\qquad 2x-a\gt 0.

Неподвижный корень: 5x-2=0, то есть x=\dfrac25. Подставляем в ОДЗ: \dfrac25+a\gt 0 и \dfrac45-a\gt 0, значит он существует при -\dfrac25\lt a\lt \dfrac45.

Подвижный корень — из равенства аргументов x+a=2x-a, откуда x=a. Он на отрезке при 0\le a\le1 и в ОДЗ при a\gt 0.

Считаем корни, двигаясь по оси параметра.

• При -\dfrac25\lt a\le 0: подвижный корень x=a ещё не работает (a\gt 0 не выполнено), есть только x=\dfrac25 — один корень, годится.

• При 0\lt a\lt \dfrac12: на отрезке оба корня и они различны — два корня. Слияние, оставляющее один корень, происходит при a=\dfrac15.

• При \dfrac12\lt a\lt \dfrac45: подвижный корень попадает в зону, где нарушается ОДЗ второго множителя, остаётся только x=\dfrac25 — один корень.

• Вне промежутка \left(-\dfrac25;\dfrac45\right) неподвижный корень выпадает из ОДЗ — корней нет.

Собираем «хорошие» куски: \left(-\dfrac25;\,0\right], точка \dfrac15 и \left(\dfrac12;\,\dfrac45\right).