Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00013716

Нам нужно понять, при каких значениях параметра $a$ это уравнение имеет на отрезке $[0;1]$ ровно один корень. План: упростим уравнение, найдём все корни-кандидаты (они зависят от $a$), а потом аккуратно посчитаем, сколько из них реально попадает на отрезок при каждом $a$.

Сразу заметим главное: и слева, и справа стоит один и тот же множитель $(3x-1)$. Перенесём всё в левую часть и вынесем его за скобку — этот приём превращает одно сложное уравнение в совокупность простых.

$$(3x-1)\big(\ln(3x+a)-\ln(4x-a)\big)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один из множителей. Но логарифм существует только от положительного числа, поэтому сразу запишем область допустимых значений (ОДЗ) — без неё корни «ненастоящие».

$$3x+a\gt 0,\qquad 4x-a\gt 0.$$

Первая возможность: обнуляется скобка $3x-1=0$, откуда $x=\dfrac13$. Это «неподвижный» корень — он не зависит от $a$. Но годится не всегда: подставим $x=\dfrac13$ в ОДЗ.

Получаем $1+a\gt 0$ (то есть $a\gt -1$) и $\dfrac43-a\gt 0$ (то есть $a\lt \dfrac43$). Значит корень $x=\dfrac13$ реально существует только при $-1\lt a\lt \dfrac43$. На отрезке $[0;1]$ он, конечно, лежит.

Вторая возможность: равны логарифмы. А если равны логарифмы, то равны и числа под ними:

$$3x+a=4x-a\ \Rightarrow\ x=2a.$$

Это «подвижный» корень — он едет вместе с параметром. Чтобы он годился, нужно: он на отрезке ($0\le 2a\le1$, то есть $0\le a\le\dfrac12$) и он в ОДЗ (подстановка $x=2a$ даёт $7a\gt 0$, то есть $a\gt 0$). Вместе: корень $x=2a$ работает при $0\lt a\le\dfrac12$.

Теперь самое важное — посчитать число корней. Удобно мысленно двигаться по оси параметра $a$ слева направо и смотреть, какие корни «включены».

• При $-1\lt a\le 0$: подвижный корень ещё «спит» (он требует $a\gt 0$), работает только неподвижный $x=\dfrac13$. Ровно один корень — годится.

• При $0\lt a\lt \dfrac12$: на отрезке оба корня, $\dfrac13$ и $2a$, и они разные — два корня, не подходит. Исключение: они совпадают, когда $2a=\dfrac13$, то есть при $a=\dfrac16$ — в этой единственной точке корень снова один.

• При $\dfrac12\lt a\lt \dfrac43$: подвижный корень $x=2a$ стал больше $1$ и вышел за отрезок. Остаётся только $x=\dfrac13$ — снова ровно один.

• При $a\le-1$ или $a\ge\dfrac43$: даже неподвижный корень выпадает из ОДЗ (один из логарифмов не существует) — корней нет.

Соберём вместе все «хорошие» куски оси параметра: $a\in(-1;\,0]$, точка $a=\dfrac16$ и $a\in\left(\dfrac12;\,\dfrac43\right)$.