Нам нужно понять, при каких значениях параметра a это уравнение имеет на отрезке [0;1] ровно один корень. План: упростим уравнение, найдём все корни-кандидаты (они зависят от a), а потом аккуратно посчитаем, сколько из них реально попадает на отрезок при каждом a.

Сразу заметим главное: и слева, и справа стоит один и тот же множитель (3x-1). Перенесём всё в левую часть и вынесем его за скобку — этот приём превращает одно сложное уравнение в совокупность простых.

(3x-1)\big(\ln(3x+a)-\ln(4x-a)\big)=0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один из множителей. Но логарифм существует только от положительного числа, поэтому сразу запишем область допустимых значений (ОДЗ) — без неё корни «ненастоящие».

3x+a\gt 0,\qquad 4x-a\gt 0.

Первая возможность: обнуляется скобка 3x-1=0, откуда x=\dfrac13. Это «неподвижный» корень — он не зависит от a. Но годится не всегда: подставим x=\dfrac13 в ОДЗ.

Получаем 1+a\gt 0 (то есть a\gt -1) и \dfrac43-a\gt 0 (то есть a\lt \dfrac43). Значит корень x=\dfrac13 реально существует только при -1\lt a\lt \dfrac43. На отрезке [0;1] он, конечно, лежит.

Вторая возможность: равны логарифмы. А если равны логарифмы, то равны и числа под ними:

3x+a=4x-a\ \Rightarrow\ x=2a.

Это «подвижный» корень — он едет вместе с параметром. Чтобы он годился, нужно: он на отрезке (0\le 2a\le1, то есть 0\le a\le\dfrac12) и он в ОДЗ (подстановка x=2a даёт 7a\gt 0, то есть a\gt 0). Вместе: корень x=2a работает при 0\lt a\le\dfrac12.

Теперь самое важное — посчитать число корней. Удобно мысленно двигаться по оси параметра a слева направо и смотреть, какие корни «включены».

• При -1\lt a\le 0: подвижный корень ещё «спит» (он требует a\gt 0), работает только неподвижный x=\dfrac13. Ровно один корень — годится.

• При 0\lt a\lt \dfrac12: на отрезке оба корня, \dfrac13 и 2a, и они разные — два корня, не подходит. Исключение: они совпадают, когда 2a=\dfrac13, то есть при a=\dfrac16 — в этой единственной точке корень снова один.

• При \dfrac12\lt a\lt \dfrac43: подвижный корень x=2a стал больше 1 и вышел за отрезок. Остаётся только x=\dfrac13 — снова ровно один.

• При a\le-1 или a\ge\dfrac43: даже неподвижный корень выпадает из ОДЗ (один из логарифмов не существует) — корней нет.

Соберём вместе все «хорошие» куски оси параметра: a\in(-1;\,0], точка a=\dfrac16 и a\in\left(\dfrac12;\,\dfrac43\right).