Справа — сумма двух логарифмов с основанием 5. Свернём её в один логарифм и сравним то, что стоит под логарифмами. Но сначала, как всегда с логарифмами, отыщем область определения.

Под логарифмами должны стоять положительные числа. (3-x)(x^{2}+2)\gt 0: множитель x^{2}+2 всегда положителен, поэтому условие сводится к 3-x\gt 0, то есть x\lt 3. Дальше x^{2}-7x+12=(x-3)(x-4)\gt 0 даёт x\lt 3 или x\gt 4. И 5-x\gt 0 даёт x\lt 5. Пересечение всех трёх условий: x\lt 3.

Сворачиваем правую часть: \log_5(x^{2}-7x+12)+\log_5(5-x)=\log_5\big((x-3)(x-4)(5-x)\big). Основание 5\gt 1, переходим к сравнению аргументов:

(3-x)(x^{2}+2)\geqslant (x-3)(x-4)(5-x).

Маленькая хитрость: (x-3)(x-4)(5-x)=(3-x)(4-x)(5-x). Мы поменяли знак сразу в двух скобках — (x-3) на (3-x) и (x-4) на (4-x), — а два минуса дают плюс, поэтому значение не изменилось. Теперь в обеих частях есть общий множитель 3-x, и при x\lt 3 он положителен. На положительное число делить можно, знак неравенства сохраняется:

x^{2}+2\geqslant (4-x)(5-x),\qquad x^{2}+2\geqslant x^{2}-9x+20.

Слагаемые x^{2} сокращаются, остаётся 9x\geqslant 18, то есть x\geqslant 2. Вспоминаем ОДЗ x\lt 3 и получаем промежуток [2;3).