Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00013710

Что дано: $10$ различных натуральных чисел, и среднее любых трёх, четырёх, пяти и шести из них — целое. Вытащим простое свойство.

Если среднее любых трёх целое, то сумма любых трёх делится на $3$; беря две тройки с одним отличающимся числом, получаем, что разность любых двух чисел делится на $3$. Точно так же из «по четыре, пять, шесть» — на $4,5,6$. Значит разность любых двух кратна $\text{НОК}(3,4,5,6)=60$, то есть все числа дают один остаток по модулю $60$. Так как $30021=60\cdot 500+21$, все числа $\equiv 21\pmod{60}$.

Пункт а). Может ли быть число $351$? Остаток $351$ по модулю $60$ равен $51$ ($351=60\cdot 5+51$), а нужен $21$. Не совпадает — значит нет.

Пункт б). Может ли отношение двух чисел равняться $11$? Пусть $a=11b$, $b\equiv 21\pmod{60}$. Тогда $a\equiv 11\cdot 21=231\equiv 51\pmod{60}$ (ведь $231=60\cdot 3+51$), а должно быть $21$. Противоречие — значит нет.

Пункт в). Пусть отношение равно целому $n$: $a=nb$, оба $\equiv 21\pmod{60}$. Тогда $21n\equiv 21\pmod{60}$, то есть $21(n-1)$ делится на $60$. У $21$ и $60$ общий делитель $3$; поделив, получаем $7(n-1)$ делится на $20$, а так как $7$ и $20$ взаимно просты — на $20$ делится само $n-1$. Наименьшее $n\gt 1$ — это $n=21$ (достижимо: $b=21$, $a=441\equiv 21\pmod{60}$). Наименьшее значение $n$ — 21.