Что дано: 10 различных натуральных чисел, и среднее любых трёх, четырёх, пяти и шести из них — целое. Вытащим простое свойство.

Если среднее любых трёх целое, то сумма любых трёх делится на 3; беря две тройки с одним отличающимся числом, получаем, что разность любых двух чисел делится на 3. Точно так же из «по четыре, пять, шесть» — на 4,5,6. Значит разность любых двух кратна \text{НОК}(3,4,5,6)=60, то есть все числа дают один остаток по модулю 60. Так как 30021=60\cdot 500+21, все числа \equiv 21\pmod{60}.

Пункт а). Может ли быть число 351? Остаток 351 по модулю 60 равен 51 (351=60\cdot 5+51), а нужен 21. Не совпадает — значит нет.

Пункт б). Может ли отношение двух чисел равняться 11? Пусть a=11b, b\equiv 21\pmod{60}. Тогда a\equiv 11\cdot 21=231\equiv 51\pmod{60} (ведь 231=60\cdot 3+51), а должно быть 21. Противоречие — значит нет.

Пункт в). Пусть отношение равно целому n: a=nb, оба \equiv 21\pmod{60}. Тогда 21n\equiv 21\pmod{60}, то есть 21(n-1) делится на 60. У 21 и 60 общий делитель 3; поделив, получаем 7(n-1) делится на 20, а так как 7 и 20 взаимно просты — на 20 делится само n-1. Наименьшее n\gt 1 — это n=21 (достижимо: b=21, a=441\equiv 21\pmod{60}). Наименьшее значение n — 21.